реферат
Главная

Рефераты по биологии

Рефераты по экономике

Рефераты по москвоведению

Рефераты по экологии

Краткое содержание произведений

Рефераты по физкультуре и спорту

Топики по английскому языку

Рефераты по математике

Рефераты по музыке

Остальные рефераты

Рефераты по авиации и космонавтике

Рефераты по административному праву

Рефераты по безопасности жизнедеятельности

Рефераты по арбитражному процессу

Рефераты по архитектуре

Рефераты по астрономии

Рефераты по банковскому делу

Рефераты по биржевому делу

Рефераты по ботанике и сельскому хозяйству

Рефераты по бухгалтерскому учету и аудиту

Рефераты по валютным отношениям

Рефераты по ветеринарии

Рефераты для военной кафедры

Рефераты по географии

Рефераты по геодезии

Рефераты по геологии

Курсовая работа: Комплексная статистическая обработка экспериментальных данных

Курсовая работа: Комплексная статистическая обработка экспериментальных данных

Министерство образования и науки Украины

Пояснительная записка

к курсовой работе

по дисциплине Статистика

Комплексная статистическая обработка экспериментальных данных


Реферат

Объектом исследования данной работы является комплексный анализ сгенерированных выборок случайных величин и подбор их закона распределения.

Целью работы является изучение методов и приемов анализа статистической информации, получение навыков и опыта работы в пакете STATISTICA.

В данной работе применялись широко используемые статистические методы обработки и анализа данных.

Результатом работы является освоение методов обработки данных статистического наблюдения, их анализа с помощью обобщающих показателей, установление теоретических законов распределения случайных величин и доказательство адекватности этих законов.

Данную курсовую работу можно использовать в качестве наглядного пособия по обработке статистических данных для различных учебных целей и задач.


Задание на курсовой проект

По специально сгенерированному имитатору получить последовательности случайных чисел двух типов:

а) ,

где  – номер варианта,

 - номер измерения случайной величины,

 – случайное число, возвращаемое при обращении к стандартной функции выбранного языка программирования – датчику случайных чисел.

б) .

Для исследований предусмотреть следующие объёмы измерений для каждой из случайных величин: 100, 200, …, 1000 (объёмы выборок).

Произвести статистический анализ каждой из полученных выборок для двух случайных величин в следующей последовательности:

а) найти размах варьирования;

б) определить целесообразное количество групп по формуле Стерджесса, построить группировку и интервальный ряд;

в) привести графическое изображение полигона частот, гистограммы, кумуляты и эмпирической функции распределения;

г) вычислить и проанализировать точечные оценки  и  для простого и интервального рядов; построить и проанализировать зависимость величины точечной оценки от объема выборки и от номера эксперимента (10 выборок для объема выборки 1000);

д) построить доверительные интервалы для  и , используя различные значения доверительной вероятности (0,9; 0,95; 0,975; 0,995; 0,999) и проанализировать зависимость длины доверительного интервала от объёма выборки и от величины доверительной вероятности;

е) вычислить и проанализировать медиану, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии и эксцесс, моду; проанализировать зависимости числовых характеристик от объема выборки;

ж) оценить однородность каждой из выборок, используя:

1) коэффициент вариации;

2) метод -статистик Ирвина.

з) определить, близки ли к нормальному распределению полученные эмпирические распределения на основе:

1) анализа числовых характеристик положения и вариации;

2) на основе критерия согласия Пирсона;

и) по виду гистограмм выдвинуть гипотезу о предполагаемых законах распределений исследуемых случайных величин, определить оценки параметров предполагаемых распределений (метод моментов и максимального правдоподобия) и проверить гипотезу о законе распределения по критерию Пирсона.


Введение

С давних пор человечество осуществляло учет многих сопутствующих его жизнедеятельности явлений и предметов, а также связанных с ними вычислений. Люди получали разносторонние, хотя и различающиеся полнотой сведения на различных этапах общественного развития. Данные учитывались повседневно в процессе принятия хозяйственных решений, а в обобщенном виде и на государственном уровне – при определении направления экономической и социальной политики, характера внешнеполитической деятельности.

Выполняя самые разнообразные функции сбора, систематизации и анализа сведений, характеризующих экономическое и социальное развитие общества, статистика всегда играла роль главного поставщика факторов для управленческих, научно-исследовательских и прикладных практических нужд различного рода структур, организаций и населения. Роль статистики в нашей жизни настолько значительна, что люди, часто не задумываясь и не осознавая, постоянно используют элементы статистической методологии в повседневной практике.

Применяя статистические методы в экономических исследованиях, можно осуществлять стратегическое планирование, а также анализировать и прогнозировать рыночную конъюнктуру, уменьшая степень неопределенности в отношении внешнего окружения.

С увеличением объемов информации, становится актуальным вопрос ее компьютерной обработки. Получение навыков обработки и анализа экспериментальных данных с помощью компьютера, например, в пакете STATISTICA дает возможность получить полную информацию об исследуемом объекте и найти оптимальное решение конкретной поставленной задачи.


1. Генерация исходных данных

В данной курсовой работе вместо статистического наблюдения используются случайные величины, сгенерированные по следующим формулам:

1) непрерывная случайная величина X, определяемая по формуле 1.1;

 (1.1)

2) непрерывная случайная величина У, определяемая по формуле 1.2.

 (1.2)

где ,  - значения случайной величины X и У в различных опытах;

 - случайное число, равномерно распределенное на отрезке [0, 1], возвращаемое при обращении к стандартной функции на выбранном языке программирования к датчику случайных чисел;  Для генерации исходных данных были использованы следующие методы:

1) Для случайной величины  в окне Variable в поле Long Name была введена формула 1.3:

 (1.3)

2) Для случайной величины  был создан программный имитатор в модуле STATISTICA BASIC. Реализация алгоритма генерации данных в модуле STATISTICA BASIC приведена в приложении А.

В результате были получены выборки, объемом 100, 200…1000 значений для каждой из случайных величин.


2. Первичная обработка результатов наблюдения

2.1 Построение вариационного ряда

Вариационный ряд - упорядоченные по возрастанию значения признака.

Построение вариационного ряда в пакете STATISTICA производилось следующим образом:

в модуле Basic Statistics and Tables: Analysis → Frequency tables → кнопка Variables для выбора переменной → отметили All distinct values → ОК.

Размах варьирования  – абсолютная величина разности между максимальным  и минимальным  значениями (вариантами) изучаемого признака:

 (2.1)

Построение размаха варьирования в пакете STATISTICA производилось следующим образом:

в модуле Basic Statistics and Tables: Analysis → Descriptive statistics → Variables (выбрать переменную) → нажали Box & whisker plot for all variables → выбрали Median / Quart. / Range → ОК.

Значения размаха варьирования для заданных выборок в таблице 2.1.

Таблица 2.1 – Размах варьирования для заданных выборок

Выборка

100 25,201 6,993 18,209 28,805 2,429 26,376
500 25,110 6,984 18,126 33,695 0,196 33,499
1000 25,237 6,711 18,466 33,962 -1,574 35,536

Случайная величина  имеет меньший размах, чем случайная величина .

2.2 Группировка статистических данных

Число групп определяется по формуле Стерджесса (2.2):

, (2.2)

где  – количество групп;

 – объем выборки.

После определения числа групп следует определить интервалы группировки - значения варьирующего признака, лежащие в определенных границах. Величина равного интервала определяется по формуле (2.3):

(2.3)

 
,

где  – число групп интервалов,

 – размах выборки .

Ниже приведены значения числа групп интервалов для всех выборок:

При : .

При : .

При :.

При :.

При : .

При :.

При :.

При :.

При : .

При : .

Построение интервального ряда в пакете STATISTICA производилось следующим образом:

а) Analysis→Frequency tables→Variables(выбрали переменную);

б) установили количество интервалов в “No. of exact intervals”, посчитанных по формуле Стерджесса;

в) установили флажки в Display options:

-  Cumulative frequencies – накопленные частоты;

-  Percentages - частости;

-  Cumulative percentages – накопленные частости.

Интервальные ряды по каждой выборке для случайных величин X и Y приведены в таблицах 2.2-2.7 и Д.1-Д.14.

Таблица 2.2 - Интервальный ряд СВ  при

Частота Кумул. частота Процент Кумул. процент
5,475289<x<=8,510050 8 8 8,00000 8,0000
8,510050<x<=11,54481 15 23 15,00000 23,0000
11,54481<x<=14,57957 16 39 16,00000 39,0000
14,57957<x<=17,61433 18 57 18,00000 57,0000
17,61433<x<=20,64909 20 77 20,00000 77,0000
20,64909<x<=23,68385 13 90 13,00000 90,0000
23,68385<x<=26,71862 10 100 10,00000 100,0000

Таблица 2.3 - Интервальный ряд СВ  при

Частота Кумул. частота Процент Кумул. процент
5,850935<x<=8,116734 25 25 5,00000 5,0000
8,116734<x<=10,38253 62 87 12,40000 17,4000
10,38253<x<=12,64833 64 151 12,80000 30,2000
12,64833<x<=14,91413 55 206 11,00000 41,2000
14,91413<x<=17,17993 70 276 14,00000 55,2000
17,17993<x<=19,44573 64 340 12,80000 68,0000
19,44573<x<=21,71153 74 414 14,80000 82,8000
21,71153<x<=23,97733 59 473 11,80000 94,6000
23,97733<x<=26,24313 27 500 5,40000 100,0000

Таблица 2.4 - Интервальный ряд СВ  при

Частота Кумул. частота Процент Кумул. процент
5,745344<x<=7,797069 50 50 5,00000 5,0000
7,797069<x<=9,848795 106 156 10,60000 15,6000
9,848795<x<=11,90052 134 290 13,40000 29,0000
11,90052<x<=13,95225 88 378 8,80000 37,8000
13,95225<x<=16,00397 117 495 11,70000 49,5000
16,00397<x<=18,05570 121 616 12,10000 61,6000
18,05570<x<=20,10742 107 723 10,70000 72,3000
20,10742<x<=22,15915 117 840 11,70000 84,0000
22,15915<x<=24,21087 111 951 11,10000 95,1000
24,21087<x<=26,26260 49 1000 4,90000 100,0000

Таблица 2.5 - Интервальный ряд СВ  при

Частота Кумул. Процент Кумул.
0,231076<x<=4,627075 1 1 1,00000 1,0000
4,627075<x<=9,023072 6 7 6,00000 7,0000
9,023072<x<=13,41907 20 27 20,00000 27,0000
13,41907<x<=17,81507 31 58 31,00000 58,0000
17,81507<x<=22,21107 22 80 22,00000 80,0000
22,21107<x<=26,60706 17 97 17,00000 97,0000
26,60706<x<=31,00306 3 100 3,00000 100,0000

Таблица 2.6 - Интервальный ряд СВ  при

Частота Кумул. Процент Кумул.
-1,89766<x<=2,289667 2 2 0,40000 0,4000
2,289667<x<=6,476997 21 23 4,20000 4,6000
6,476997<x<=10,66433 59 82 11,80000 16,4000
10,66433<x<=14,85166 125 207 25,00000 41,4000
14,85166<x<=19,03899 147 354 29,40000 70,8000
19,03899<x<=23,22632 99 453 19,80000 90,6000
23,22632<x<=27,41365 39 492 7,80000 98,4000
27,41365<x<=31,60098 7 499 1,40000 99,8000

Таблица 2.7 - Интервальный ряд СВ  при

Частота Кумул. Процент Кумул.
-3,54794<x<=0,400491 5 5 0,50000 0,5000
0,400491<x<=4,348925 9 14 0,90000 1,4000
4,348925<x<=8,297359 61 75 6,10000 7,5000
8,297359<x<=12,24579 177 252 17,70000 25,2000
12,24579<x<=16,19423 279 531 27,90000 53,1000
16,19423<x<=20,14266 267 798 26,70000 79,8000
20,14266<x<=24,09110 154 952 15,40000 95,2000
24,09110<x<=28,03953 38 990 3,80000 99,0000
28,03953<x<=31,98797 8 998 0,80000 99,8000
31,98797<x<=35,93640 2 1000 0,20000 100,0000

2.3 Графическое изображение рядов распределения

Графическое изображение интервальных рядов включает построения полигона частот, гистограммы и кумуляты.

В пакете STATISTICA построение полигона происходит следующим образом:

а) Analysis → Frequency tables → Variables (выбрать переменную);

б) установить количество интервалов в “No. of exact intervals”;

в) Frequency tables → Count;

г) нажать правую кнопку мыши и из выпадающего списка выбрать “Custom Graphs”;

д) 2D Graphs → Graph Type → Line Plot. [1]

Построение кумуляты:

а)Analysis → Frequency tables → Variables (выбрать переменную);

б) установить количество интервалов в “No. of exact intervals”;

в) Frequency tables → Cumul. Count;

г) нажать правую кнопку мыши и выбрать “Custom Graphs”;

д) 2D Graphs → Graph Type → Line Plot (Bar ).

Построение гистограммы происходит следующим образом:

а) Analysis → Frequency tables → Variables (выбрать переменную);

б) установить количество интервалов в “No. of exact intervals”;

в) Frequency tables → Percent;

г) нажать правую кнопку мыши и из выпадающего списка выбрать “Custom Graphs”;

д) 2D Graphs → Graph Type → Bar

2.4 Точечные оценки средних показателей

Точечная оценка математического ожидания по вариационному ряду вычисляется по формуле (2.4):

(2.4)

 

где  – значения элементов выборки.

Оценка дисперсии по вариационному ряду вычисляется по формуле (2.5).

(2.5)

 

Вычисление оценки математического ожидания по интервальному вариационному ряду осуществляется по формуле (2.6):

(2.6)

 

где – середина -го интервала;

 – статистическая вероятность (частость) попадания в -тый интервал.

Оценка дисперсии для интервального ряда вычисляется по формуле (2.7):

(2.7)

 

Вычисление точечных оценок по вариационному ряду в пакете STATISTICA:

Analysis → Descriptive statistics → Categorization → Number of intervals (установить количество интервалов) → More statistics → Mean, Variance. [2]

Значения точечных оценок математического ожидания и дисперсии для простого и интервального рядов приведены в таблице 2.8.

Таблица 2.8 – Оценки математического ожидания и дисперсии

Выборка Математическое ожидание Дисперсия
Простой ряд Интервальный ряд Простой ряд Интервальный ряд

()

16,254 16,279 27,849 28,517

()

16,189 16,174 26,259 26,598

()

15,950 16,006 27,608 28,330

()

16,668 16,936 31,125 31,113

()

15,989 16,007 30,406 31,242

()

15,792 15,740 27,059 28,636

Из приведенных данных видно, что полученные оценки математического ожидания и дисперсии по вариационному (простому) и интервальному рядам имеют близкие значения. Причем, чем больше объем выборки, тем более точный результат. От номера эксперимента, то есть от количества испытаний величины точечной оценки не зависят. Это видно на рисунках 2.25 – 2.32.

Рисунок 2.25 - Зависимость  от объема выборки для

Рисунок 2.26 - Зависимость  от объема выборки для


Рисунок 2.27 - Зависимость  от объема выборки для

Рисунок 2.28 - Зависимость  от объема выборки для

Рисунок 2.29 - Зависимость  от номера эксперимента по


Рисунок 2.30 - Зависимость  от номера эксперимента по

Рисунок 2.31 - Зависимость  от номера эксперимента по

Рисунок 2.32 - Зависимость  от номера эксперимента по


В таблице 2.9 приведены оценки математического ожидания и дисперсии, вычисленные для 10 выборок по 1000 элементов в каждой для случайной величины  и случайной величины .

Таблица 2.9 – Точечные оценки выборок из 1000 элементов для  и

Выборка

1 15,792 27,832 15,754 27,421
2 16,193 29,501 16,283 29,650
3 16,076 29,006 15,900 28,716
4 16,052 28,884 16,096 26,124
5 15,968 28,508 15,947 30,983
6 16,212 28,710 16,163 29,956
7 16,215 28,747 16,030 30,011
8 15,945 27,243 16,428 29,069
9 16,080 28,103 16,054 28,265
10 15,853 28,369 15,980 28,913

2.5 Доверительные интервалы

Для того чтобы оценить достоверность оценок, вводят понятие доверительный интервал и доверительная вероятность.

(2.7)

 
Доверительный интервал для математического ожидания определяется по формуле (2.7):

где  – математическое ожидание генеральной совокупности;

 - доверительная вероятность;

 - оценка математического ожидания;

 (2.8)

 
 - величина доверительного интервала, вычисляется по формуле (2.8):


где  - квантиль нормального распределения, получается обратным интерполированием из таблицы для функции распределения стандартного нормального закона. Вычисляется по формуле (2.9).

 (2.10)

 

 (2.9)

 

 - оценка дисперсии, вычисляется по формуле (2.10).

Доверительный интервал для дисперсии определяется по формуле (2.11).

 (2.12)

 
,

где  – дисперсия генеральной совокупности;

 – оценка дисперсии.

 – квантиль нормального распределения.

Оценка стандартного отклонения в зависимости от закона распределения случайной величины имеет различное значение.

Для нормального закона распределения эта величина будет равна:


Для равномерного:

Ниже в таблицах 2.10-2.21 приведены доверительные интервалы математического ожидания исследуемых выборок.

-точный метод

Таблица 2.10 - Доверительные интервалы для СВ ,

15,378 17,130

15,207 17,301

15,053 17,455

14,739 17,769

14,481 18,027

-грубый метод

Таблица 2.11 – Доверительные интервалы для СВ ,

15,376 17,132

15,207 17,301

15,058 17,450

14,753 17,755

14,508 18,000

-точный метод

Таблица 2.12 - Доверительные интервалы для СВ ,

15,811 16,566

15,738 16,639

15,673 16,704

15,542 16,835

15,408 16,940

-грубый метод

Таблица 2.13 – Доверительные интервалы для СВ ,

15,795 16,553

15,722 16,626

15,657 16,691

15,526 16,822

15,420 16,928

-точный метод

Таблица 2.14 - Доверительные интервалы для СВ ,

15,677 16,224

15,624 16,276

15,577 16,323

15,483 16,418

15,447 16,565

-грубый метод

Таблица 2.15 – Доверительные интервалы для СВ ,

15,729 16,283

15,676 16,336

15,629 16,383

15,533 16,479

15,456 16,556

-точный метод

Таблица 2.16 – Доверительные интервалы для СВ ,

15,742 17,595

15,561 17,775

15,399 17,938

15,066 18,270

15,084 18,788

-грубый метод

Таблица 2.17 – Доверительные интервалы для СВ ,

16,018 17,854

15,843 18,029

15,687 18,185

15,369 18,503

15,112 18,760

-точный метод

Таблица 2.18 – Доверительные интервалы для СВ ,

15,583 16,396

15,505 16,474

15,435 16,544

15,294 16,685

15,177 16,837

-грубый метод


Таблица 2.19 – Доверительные интервалы для СВ ,

15,596 16,418

15,517 16,497

15,447 16,567

15,305 16,709

15,190 16,824

-точный метод

Таблица 2.20 – Доверительные интервалы для СВ ,

15,521 16,063

15,469 16,115

15,423 16,161

15,329 16,255

15,178 16,302

-грубый метод

Таблица 2.21 – Доверительные интервалы для СВ ,

15,462 16,018

15,408 16,072

15,361 16,119

15,264 16,216

15,187 16,293

Длины доверительных интервалов для математического ожидания при различных уровнях доверительной вероятности приведены в таблице 2.22.

Таблица 2.22 – Длины доверительных интервалов

Длина интервала

()

1,752 2,094 2,402 3,03 3,546

()

0,755 0,901 1,031 1,293 1,532

()

0,547 0,652 0,746 0,935 1,118

()

1,853 2,214 2,539 3,204 3,704

()

0,813 0,969 1,109 1,391 1,66

()

0,542 0,646 0,738 0,926 1,124

В таблицах 2.23 – 2.34 указаны доверительные интервалы дисперсии исследуемых выборок.

-точный метод

Таблица 2.23 – Доверительные интервалы для СВ ,

25,059 32,793

24,452 33,693

23,926 34,524

22,914 36,280

22,095 37,873

-грубый метод

Таблица 2.24 – Доверительные интервалы для СВ ,

26,084 30,950

25,619 31,415

25,205 31,829

24,362 32,672

23,681 33,353

-точный метод


Таблица 2.25 – Доверительные интервалы для СВ ,

23,373 30,586

22,807 31,426

22,316 32,201

21,372 33,838

20,608 35,324

-грубый метод

Таблица 2.26 – Доверительные интервалы для СВ ,

24,329 28,867

23,895 29,301

23,508 29,688

22,722 30,474

22,088 31,108

-точный метод

Таблица 2.27 – Доверительные интервалы для СВ ,

22,258 29,128

21,719 29,928

21,252 30,666

20,354 32,225

19,626 33,640

-грубый метод

Таблица 2.28 – Доверительные интервалы для СВ ,

23,169 27,491

22,756 27,904

22,388 28,272

21,639 29,021

21,035 29,625

-точный метод

Таблица 2.29 – Доверительные интервалы для СВ ,

27,340 35,779

26,678 36,761

26,104 37,667

25,000 39,582

24,106 41,321

-грубый метод

Таблица 2.30 – Доверительные интервалы для СВ ,

28,459 33,767

27,951 34,275

27,499 34,727

26,579 35,647

25,837 36,389

-точный метод

Таблица 2.31 – Доверительные интервалы для СВ ,

26,575 34,777

25,931 35,732

25,374 36,613

24,301 38,474

23,431 40,164

-грубый метод

Таблица 2.32 – Доверительные интервалы для СВ ,

27,662 32,822

27,168 33,316

26,729 33,755

25,835 34,649

25,114 35,370

-точный метод

Таблица 2.33 – Доверительные интервалы для СВ ,

25,163 32,930

24,554 33,834

24,026 34,668

23,010 36,431

22,187 38,031

-грубый метод

Таблица 2.34 – Доверительные интервалы для СВ ,

26,193 31,079

25,726 31,546

25,310 31,962

24,463 32,809

23,780 33,492

В таблице 2.35 показано изменение длины доверительного интервала для дисперсии в зависимости от объема выборки и величины доверительной вероятности.


Таблица 2.35 – Длины доверительных интервалов

Величина интервала

()

7,734 9,241 10,598 13,366 15,778

()

7,213 8,619 9,885 12,466 14,716

()

4,322 5,148 5,884 7,382 8,590

()

8,439 10,083 11,563 14,582 17,215

()

8,202 9,801 11,239 14,173 16,733

()

7,767 9,280 10,642 13,421 15,844

Анализируя полученные данные можно заметить, что при увеличении уровня доверительной вероятности увеличивается величина доверительного интервала, а при увеличении объема выборки она уменьшается. Это справедливо как для доверительных интервалов математического ожидания, так и для дисперсии. [3]

2.6 Другие точечные оценки интервального ряда (мода, медиана, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии, эксцесс)

Модой в вариационном ряду является наиболее часто встречающееся значение признака.

Мода по интервальному ряду вычисляется по формуле (2.13):

 (2.13)

где  – левая граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частость);

 – величина интервала группировки;

 – частота модального интервала;

 – частота интервала, предшествующего модальному;

 – частота интервала, следующего за модальным.

Медиана – серединное наблюдение в выборке длиной n.

При нечетном n медиана в вариационном ряду есть значение ряда с номером .

При четном n медиана есть полусумма значений с номерами  и . В интервальном ряду для нахождения медианы применяется формула (2.14):

(2.14)

 

где  – нижняя граница медианного интервала (медианным называется интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);

 – величина интервала группировки;

 – частота медианного интервала;

– накопленная частота интервала, предшествующего медианному.

Коэффициент вариации вычисляется по формуле (2.15):

(2.15)

 

На основе момента третьего порядка (смотри формулу 2.16) выборочный коэффициент асимметрии находится по формуле (2.17):


(2.16)

 

(2.17)

 

С помощью момента четвертого порядка характеризуют свойство рядов распределения, называемое эксцессом. Показатель эксцесса для ранжированного ряда находится по формуле (2.18).

(2.18)

 

Вычисление точечных оценок по вариационному ряду в пакете STATISTICA происходит следующим образом:

Analysis → Descriptive statistics:

а) Categorization → Number of intervals (установить количество интервалов);

б) нажать кнопку More statistics → откроется окно Statistics, где можно выбрать следующие показатели:

-  Mean – выборочное среднее;

-  Median – медиана;

-  Standard Deviation – стандартное отклонение среднего значения;

-  Variance – выборочная дисперсия;

-  Skewness – выборочный коэффициент асимметрии;

-  Kurtosis – выборочный коэффициент эксцесса;

в) выбрать необходимые параметры и нажать ОК.

Значения медианы, коэффициента вариации, коэффициента ассиметрии и эксцесса приведены в таблице 2.36.


Таблица 2.36 - Медиана, коэффициент вариации, коэффициент ассиметрии и эксцесс

Выборка Медиана Коэф. ассиметрии Эксцесс Коэф. вариации

()

16,587 -0,009 -1,017 0,326

()

16,501 -0,058 -1,160 0,317

()

16,119 0,007 -1,192 0,329

()

16,531 -0,086 -0,449 0,335

()

16,013 -0,022 -0,138 0,345

()

15,795 -0,080 0,170 0,329

Анализируя полученные данные, можно сказать, что обе случайные величины имеют практически симметричное распределение, т. к. коэффициенты асимметрии всех выборок близки к нулю,

Случайная величина  имеет более пологое распределение (эксцесс для всех ее выборок имеет отрицательное значение). А эксцесс выборок случайной величины  практически равен нулю, т.е. "крутизна" распределения случайной величины Y близка к нормальному распределению.

2.7 Оценка однородности выборки

Любая исследуемая совокупность содержит как значения признаков, сложившихся под влиянием факторов, непосредственно характерных для анализируемой совокупности, так и значения признаков, полученных под воздействием иных факторов, не характерных для основной совокупности.

Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному). [4]

Из таблицы 2.36 видно, что однородными можно считать выборки случайной величины  при  равном 100, 500, 1000 и  при n равном 1000.

Однородность выборки можно проверить, также используя метод Ирвина, основанный на определении -статистики. При его использовании выявление аномальных наблюдений производится по формуле (2.19).

(2.19)

 

где  – упорядоченная (по возрастанию или по убыванию) исследуемая совокупность;

 – значение ряда;

– предыдущее значение ряда;

 – среднеквадратическое отклонение.

Если расчетное значение превысит уровень критического, то оно признается аномальным.

Произведя соответствующие расчёты в Microsoft Excel мы убедились, что ни одно из расчётных значений не превышает уровень критического значения. Это значит, что все выборки случайных величин  и  – однородны.

2.8 Проверка нормальности эмпирического распределения

2.8.1 Проверка нормальности эмпирического распределения на основе анализа точечных оценок числовых характеристик

Если среднее арифметическое, медиана и мода имеют близкие значения, это указывает на вероятное соответствие изучаемого распределения нормальному закону. Для нормального распределения коэффициент асимметрии и эксцесса равны нулю, а для равномерного эксцесс равен -1,2.

В таблице 2.37 приведены данные для проверки вышеуказанных утверждений.

Таблица 2.37 – Анализ числовых характеристик положения и вариации

равномерный закон (СВ )

нормальный закон (СВ )

выборка

выборка

100 16,254 16,587 -0,009 -1,017 100 16,668 16,531 -0,449
200 16,369 15,840 0,034 -1,264 200 15,688 15,703 0,712
300 16,355 16,335 -0,092 -1,270 300 15,696 15,655 0,472
400 15,658 15,581 0,056 -1,254 400 16,770 16,954 -0,196
500 16,189 16,501 -0,058 -1,160 500 15,989 16,013 -0,138
600 16,048 15,897 -0,022 -1,158 600 16,049 16,008 -0,077
700 15,964 15,956 -0,017 -1,159 700 16,319 16,576 -0,128
800 15,867 15,649 0,072 -1,218 800 15,990 16,082 0,172
900 16,132 16,028 -0,022 -1,243 900 15,885 15,749 -0,092
1000 15,950 16,119 0,007 -1,192 1000 15,792 15,795 0,170

Анализируя полученные данные, можно сделать вывод о том что значения медианы и среднего арифметического для выборок случайной величины  и  имеют практически равное значение. Для выборки  значение коэффициента ассиметрии, а для выборки случайной величины  значение эксцесса практически равно 0. Для случайной величины  значение эксцесса практически -1,2. Таким образом, все это свидетельствует о близости распределения случайной величины  нормальному распределению, а случайной величины  равномерному.

2.9 Определение закона распределения случайных величин

2.9.1 Определение закона распределения случайной величины по виду гистограммы

По виду гистограмм, приведенных на рисунках 2.19-2.21 делаем предположение о том, что случайная величина  подчиняется равномерному закону распределения, а случайная величина  соответствует нормальному закону распределения, что можно увидеть на рисунках 2.22-2.24.

2.9.2 Определение оценок параметров распределений

Метод моментов

Метод моментов заключается в том, что определенное количество статистических начальных и (или) центральных моментов приравнивается к соответствующим теоретическим моментам распределения случайной величины. Уравнения метода показано в формуле (2.23).

(2.23)

 

(2.24)

 
где  – теоретический начальный момент -того порядка для непрерывной случайной величины, вычисляется по формуле (2.24):

.

 – статистическая оценка соответствующего теоретического момента -того порядка, вычисляется по формуле (2.25):

(2.25)

 
.

 – теоретический центральный момент s-того порядка, вычисляется по формуле (2.26):


(2.26)

 
.

 – статистическая оценка теоретического центрального момента -того порядка, вычисляется по формуле (2.27):

(2.27)

 
.

Из системы (2.23) находятся параметры распределения. Число уравнений в системе зависит от количества неизвестных параметров. Для нормального и равномерного законов, система должна содержать два уравнения, для экспоненциального – одно.

Для равномерного закона распределения система (2.23) принимает вид (2.28):

(2.28)

 

Из системы 2.28 нужно найти параметры  и .

В таблице 2.38 приведены значения этих параметров, найденные методом моментов и методом максимального правдоподобия.

Таблица 2.38 – Значения параметров  и

(метод

моментов)

(метод максимального

правдоподобия)

(метод

моментов)

(метод максимального

правдоподобия)

6,993 6,996 0,003 25,201 25,542 0,341

6,984 7,313 0,329 25,110 25,065 0,045

6,711 6,849 0,138 25,237 25,051 0,186

Из таблицы видно, что значения параметров, найденные разными методами, практически совпадают. Это подтверждает, что случайная величина  распределена по равномерному закону.

Метод максимального правдоподобия

По методу максимального правдоподобия, строится так называемая функция правдоподобия (2.29):

(2.29)

 

где     – выборка,

 – вектор параметров.

Необходимо найти такие значения вектора , чтобы функция  достигала максимума. Для этого строят систему правдоподобия (2.30), содержащую частные производные от функции правдоподобия по всем переменным, приравненные к нулю. Для упрощения вычислений переходят к функции , равной логарифму натуральному от :

(2.30)

 
 .

Оценки параметров, получаемые из этой системы, называют оценками максимального правдоподобия.

Для равномерного закона функция правдоподобия будет иметь вид (2.31)


(2.31)

 

где  и  – параметры распределения.

Данная функция будет достигать максимума при условии (2.32):

Судя по полученным оценкам параметров распределения, можно сделать вывод, что наше предположение было верно изначально и случайная величина  действительно распределена равномерно.

2.10 Проверка нормальности эмпирического распределения на основе критериев согласия Пирсона

Для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения нормальному закону распределения необходимо ввести нулевую гипотезу, которая будет проверяться по критерию Пирсона.

: генеральная совокупность распределена по нормальному закону.

В качестве меры расхождения для критерия  выбирается величина, равная взвешенной сумме квадратов отклонений статистической вероятности от соответствующей теоретической вероятности, рассчитанных по нормальному закону теоретического распределения  вычисляется по формуле (2.20)

(2.20)

 


где – частота попадания в i-тый интервал;

 – объем выборки;

 – теоретическая вероятность попадания i-тый интервал:

(2.21)

 
.

Общая схема применения критерия :

1.  Определение меры расхождения по формуле 2.20;

2.  Задание уровня значимости ;

3.  Определение числа степеней свободы  по формуле 2.22.

, (2.22)

где  – количество интервалов в интервальном ряду;

 – число налагаемых связей, равное числу параметров

предполагаемого закона распределения

4. Область принятия основной гипотезы:

.

Выполнение в пакете STATISTICA.

В модуле Nonparametric Statistics (непараметрическая статистика), Distribution Fitting. В поле Continuous Distributions представлены непрерывные распределения, а в поле Discrete Distributions - дискретные распределения (закон распределения выбираем дважды щелкнув на его название мышью) ® Variable (выбрать переменную) ® в поле Plot distribution выбираем Frequency distribution (частоты распределения) ® в поле Kolmogorov-Smirnov test ставим No → установим необходимые параметры числа интервалов, верхней и нижней границ, среднего и дисперсии → Graph. Результаты проверки соответствия гипотезы приведены в таблице 2.39 и показаны на рисунках 2.41-2.46

Таблица 2.39 – Значения  и χ2крит для случайных величин  и

Выборка

Гипотеза

()

4 9,49 7,53 Принимается

()

4 9,49 11,815 Отвергается

()

5 11,1 11,95 Отвергается

()

5 11,1 25,54 Отвергается

()

6 12,59 45,51 Отвергается

()

6 12,59 39,83 Отвергается

()

6 12,59 48,77 Отвергается

()

7 14,1 40,81 Отвергается

()

7 14,1 49,97 Отвергается

()

7 14,1 76,75 Отвергается

()

4 9,49 2,04 Принимается

()

4 9,49 2,12 Принимается

()

5 11,1 2,78 Принимается

()

5 11,1 2,99 Принимается.

()

6 12,59 3,15 Принимается

()

6 12,59 4,61 Принимается

()

6 12,59 5,07 Принимается

()

7 14,1 5,86 Принимается

()

7 14,1 6,32 Принимается

()

7 14,1 7,16 Принимается

На основе полученных данных можно сделать вывод, что случайная величина  распределена по нормальному закону, а случайная величина  не распределена по нормальному закону.

Анализируя получившиеся графики, делаем вывод, что случайная величина  распределена по равномерному закону, а случайная величина  – по нормальному.


Заключение

В ходе курсовой работы были освоены методы обработки данных статистического наблюдения, их анализа с помощью обобщающих показателей, установление теоретических законов распределения случайных величин и доказательство адекватности этих законов. Также в результате выполнения данной работы мы приобрели навыки и опыт работы в пакете STATISTICА.

В ходе анализа данных, были сделаны выводы, что основной частью статистического анализа является выявление закона распределения случайной величины, а также, выявление основных факторов, оказывающих влияние на качество оцениваемых параметров закона распределения (длина выборки, её однородность, величина доверительной вероятности). Был произведен статистический анализ каждой из полученных в ходе генерации выборок данных двух случайных величин, был найден закон их распределения. Рассмотрены основные числовые характеристики положения и вариации нормального и равномерного закона.

Полученный опыт работы со статистическими данными и методами их обработки на компьютере позволит гораздо быстрее и эффективнее применять эти методы обработки информации в повседневной жизни, в частности, для экономических исследований и разработок.


Перечень ссылок

случайный величина интервальный выборка

1.  Теория статистики: Учебник / Под ред. проф. Р. А. Шмойловой. - 3-е изд., перераб. -М.: Финансы и статистика, 2000. - 560 с.

2.  Елисеева И. И., Юзбашев М. М. Общая теория статистики: Учебник / Под ред. чл.-корр. РАН И. И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 1998. – 365 с.: ил.

3.  Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. – М.: Наука, 1969. – 509 с.

4.  Гурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для втузов. Изд. 5-е перераб. и доп. – М.: Высш. школа, 1977. – 397 с.

5.  Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Unity, 2000. – 544 с.

6.  Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1969. – 576 с.

7.  Боровиков В. STATISTICA: искусство анализа данных на компьютере. Для профессионалов. - СПб.: Питер, 2001. - 656 с.


Приложение А

Генерация исходных данных СВ  в пакете STATISTICA

Dim ADS As Spreadsheet

Dim STBReport As Report

Dim SUM As Double

Dim LOOP_CASE As Double

Dim I As Double

Sub Main

Set ADS = ActiveDataSet

Set STBReport = Reports.New

For LOOP_CASE = 1 To NCASES(ADS)

For I = 1 To n

SUM = 0

For L = 1 To 300

SUM = SUM + Uniform(1)

Next L

ADS.Value (LOOP_CASE, 1) = N * ((1 / 15) * SUM - 9)

Next I

NEXT_CASE:

Next LOOP_CASE

End Sub


Приложение Б

Интервальные ряды для СВ  и

Таблица Д.1 - Интервальный ряд СВ ,

Частота Кумул. Процент Кумул.
5,289175<x<=8,355050 14,000 14,000 7,000 7,000
8,355050<x<=11,42093 34,000 48,000 17,000 24,000
11,42093<x<=14,48680 33,000 81,000 16,500 40,500
14,48680<x<=17,55268 33,000 114,000 16,500 57,000
17,55268<x<=20,61855 29,000 143,000 14,500 71,500
20,61855<x<=23,68443 23,000 166,000 11,500 83,000
23,68443<x<=26,75030 34,000 200,000 17,000 100,000

Таблица Д.2 - Интервальный ряд СВ ,

Частота Кумул. Процент Кумул.
5,502861<x<=8,114160 25,000 25,000 8,333 8,333
8,114160<x<=10,72546 37,000 62,000 12,333 20,667
10,72546<x<=13,33676 40,000 102,000 13,333 34,000
13,33676<x<=15,94806 39,000 141,000 13,000 47,000
15,94806<x<=18,55936 39,000 180,000 13,000 60,000
18,55936<x<=21,17066 41,000 221,000 13,667 73,667
21,17066<x<=23,78195 51,000 272,000 17,000 90,667
23,78195<x<=26,39325 28,000 300,000 9,333 100,000

Таблица Д.3 - Интервальный ряд СВ ,

Частота Кумул. Процент Кумул.
5,555859<x<=8,176674 33,000 33,000 8,250 8,250
8,176674<x<=10,79749 69,000 102,000 17,250 25,500
10,79749<x<=13,41830 54,000 156,000 13,500 39,000
13,41830<x<=16,03912 54,000 210,000 13,500 52,500
16,03912<x<=18,65993 51,000 261,000 12,750 65,250
18,65993<x<=21,28075 58,000 319,000 14,500 79,750
21,28075<x<=23,90156 54,000 373,000 13,500 93,250
23,90156<x<=26,52238 27,000 400,000 6,750 100,000

Таблица Д.4 - Интервальный ряд СВ ,

Частота Кумул. Процент Кумул.
5,616825<x<=7,918099 42,000 42,000 7,000 7,000
7,918099<x<=10,21937 60,000 102,000 10,000 17,000
10,21937<x<=12,52065 79,000 181,000 13,167 30,167
12,52065<x<=14,82192 78,000 259,000 13,000 43,167
14,82192<x<=17,12319 75,000 334,000 12,500 55,667
17,12319<x<=19,42447 69,000 403,000 11,500 67,167
19,42447<x<=21,72574 92,000 495,000 15,333 82,500
21,72574<x<=24,02701 70,000 565,000 11,667 94,167
24,02701<x<=26,32829 35,000 600,000 5,833 100,000

Таблица Д.5 - Интервальный ряд СВ ,

Частота Кумул. Процент Кумул.
5,638499<x<=7,943963 48,000 48,000 6,857 6,857
7,943963<x<=10,24943 80,000 128,000 11,429 18,286
10,24943<x<=12,55489 80,000 208,000 11,429 29,714
12,55489<x<=14,86035 100,000 308,000 14,286 44,000
14,86035<x<=17,16582 91,000 399,000 13,000 57,000
17,16582<x<=19,47128 83,000 482,000 11,857 68,857
19,47128<x<=21,77675 94,000 576,000 13,429 82,286
21,77675<x<=24,08221 89,000 665,000 12,714 95,000
24,08221<x<=26,38767 35,000 700,000 5,000 100,000

Таблица Д.6 - Интервальный ряд СВ ,

Частота Кумул. Процент Кумул.
5,746050<x<=7,794074 50,000 50,000 6,250 6,250
7,794074<x<=9,842099 87,000 137,000 10,875 17,125
9,842099<x<=11,89012 88,000 225,000 11,000 28,125
11,89012<x<=13,93815 110,000 335,000 13,750 41,875
13,93815<x<=15,98617 77,000 412,000 9,625 51,500
15,98617<x<=18,03420 84,000 496,000 10,500 62,000
18,03420<x<=20,08222 83,000 579,000 10,375 72,375
20,08222<x<=22,13025 77,000 656,000 9,625 82,000
22,13025<x<=24,17827 96,000 752,000 12,000 94,000
24,17827<x<=26,22630 48,000 800,000 6,000 100,000

Таблица Д.7 - Интервальный ряд СВ ,

Частота Кумул. Процент Кумул.
5,747041<x<=7,795948 46,000 46,000 5,111 5,111
7,795948<x<=9,844855 118,000 164,000 13,111 18,222
9,844855<x<=11,89376 93,000 257,000 10,333 28,556
11,89376<x<=13,94267 84,000 341,000 9,333 37,889
13,94267<x<=15,99158 107,000 448,000 11,889 49,778
15,99158<x<=18,04048 85,000 533,000 9,444 59,222
18,04048<x<=20,08939 108,000 641,000 12,000 71,222
20,08939<x<=22,13830 88,000 729,000 9,778 81,000
22,13830<x<=24,18720 108,000 837,000 12,000 93,000
24,18720<x<=26,23611 63,000 900,000 7,000 100,000

Таблица Д.8 - Интервальный ряд СВ ,

Частота Кумул. Процент Кумул.
-3,85839<x<=1,661475 2,000 2,000 1,000 1,000
1,661475<x<=7,181336 7,000 9,000 3,500 4,500
7,181336<x<=12,70120 47,000 56,000 23,500 28,000
12,70120<x<=18,22106 79,000 135,000 39,500 67,500
18,22106<x<=23,74092 54,000 189,000 27,000 94,500
23,74092<x<=29,26078 8,000 197,000 4,000 98,500
29,26078<x<=34,78064 3,000 200,000 1,500 100,000

Таблица Д.9 - Интервальный ряд СВ ,

Частота Кумул. Процент Кумул.
-3,50252<x<=1,766314 2,000 2,000 0,667 0,667
1,766314<x<=7,035144 13,000 15,000 4,333 5,000
7,035144<x<=12,30397 63,000 78,000 21,000 26,000
12,30397<x<=17,57280 106,000 184,000 35,333 61,333
17,57280<x<=22,84163 91,000 275,000 30,333 91,667
22,84163<x<=28,11046 21,000 296,000 7,000 98,667
28,11046<x<=33,37929 3,000 299,000 1,000 99,667
33,37929<x<=38,64812 1,000 300,000 0,333 100,000

Таблица Д.10 - Интервальный ряд СВ ,

Частота Кумул. Процент Кумул.
1,299935<x<=5,325310 5,000 5,000 1,250 1,250
5,325310<x<=9,350685 31,000 36,000 7,750 9,000
9,350685<x<=13,37606 63,000 99,000 15,750 24,750
13,37606<x<=17,40143 117,000 216,000 29,250 54,000
17,40143<x<=21,42681 109,000 325,000 27,250 81,250
21,42681<x<=25,45218 55,000 380,000 13,750 95,000
25,45218<x<=29,47756 16,000 396,000 4,000 99,000
29,47756<x<=33,50293 4,000 400,000 1,000 100,000

Таблица Д.11 - Интервальный ряд СВ ,

Частота Кумул. Процент Кумул.
-1,98797<x<=1,772650 1,000 1,000 0,167 0,167
1,772650<x<=5,533271 12,000 13,000 2,000 2,167
5,533271<x<=9,293892 54,000 67,000 9,000 11,167
9,293892<x<=13,05451 100,000 167,000 16,667 27,833
13,05451<x<=16,81513 166,000 333,000 27,667 55,500
16,81513<x<=20,57576 154,000 487,000 25,667 81,167
20,57576<x<=24,33638 88,000 575,000 14,667 95,833
24,33638<x<=28,09700 17,000 592,000 2,833 98,667
28,09700<x<=31,85762 8,000 600,000 1,333 100,000

Таблица Д.12 - Интервальный ряд СВ ,

Частота Кумул. Процент Кумул.
-2,68355<x<=1,245110 2,000 2,000 0,286 0,286
1,245110<x<=5,173768 10,000 12,000 1,429 1,714
5,173768<x<=9,102425 41,000 53,000 5,857 7,571
9,102425<x<=13,03108 149,000 202,000 21,286 28,857
13,03108<x<=16,95974 180,000 382,000 25,714 54,571
16,95974<x<=20,88840 178,000 560,000 25,429 80,000
20,88840<x<=24,81705 102,000 662,000 14,571 94,571
24,81705<x<=28,74571 31,000 693,000 4,429 99,000
28,74571<x<=32,67437 7,000 700,000 1,000 100,000

Таблица Д.13 - Интервальный ряд СВ ,

Частота Кумул. Процент Кумул.
-1,52038<x<=2,421483 4,000 4,000 0,500 0,500
2,421483<x<=6,363342 37,000 41,000 4,625 5,125
6,363342<x<=10,30520 69,000 110,000 8,625 13,750
10,30520<x<=14,24706 185,000 295,000 23,125 36,875
14,24706<x<=18,18892 231,000 526,000 28,875 65,750
18,18892<x<=22,13078 175,000 701,000 21,875 87,625
22,13078<x<=26,07264 75,000 776,000 9,375 97,000
26,07264<x<=30,01449 20,000 796,000 2,500 99,500
30,01449<x<=33,95635 3,000 799,000 0,375 99,875
33,95635<x<=37,89821 1,000 800,000 0,125 100,000

Таблица Д.14 - Интервальный ряд СВ ,

Частота Кумул. Процент Кумул.
-1,06170<x<=2,578305 3,000 3,000 0,333 0,333
2,578305<x<=6,218309 36,000 39,000 4,000 4,333
6,218309<x<=9,858313 71,000 110,000 7,889 12,222
9,858313<x<=13,49832 171,000 281,000 19,000 31,222
13,49832<x<=17,13832 277,000 558,000 30,778 62,000
17,13832<x<=20,77832 176,000 734,000 19,556 81,556
20,77832<x<=24,41833 110,000 844,000 12,222 93,778
24,41833<x<=28,05833 47,000 891,000 5,222 99,000
28,05833<x<=31,69833 7,000 898,000 0,778 99,778
31,69833<x<=35,33834 2,000 900,000 0,222 100,000


 
© 2012 Рефераты, доклады, дипломные и курсовые работы.